היי יהונתן,
אם זה התיאור של השרטוט, אפשר לשרטט אותו רק בדרך אחת, אבל עדיין כל אחד יכול לקרוא לקודקודים בדרך אחרת. כדי שההסבר יהיה ברור, בוא נצייר משולש ישר זווית ABC, כשA היא הזווית הישרה. נוריד גובה מA לBC, גובה AD.
כעת יש לנו שני ניצבים (הצלעות שלא מול הזווית הישרה), AB ו-AC, יתר (הצלע שמול הזווית הישרה) BC, וגובה (ADׂׂ). נחלק את ההסבר לסעיפים כדי שיהיה ברור. יש לנו שני משולשים, BAD וDAC. המשולש הקטן יותר הוא BAD והמשולש הגדול, ששטחו שווה פי 3 יותר, הוא DAC.
1. על פי סכום זוויות במשולש (עמוד 235 בספר אלגברה וגיאומטריה), BAD=90-ABD ׁ(סכום זוויות במשולש ABD הוא 180).
2. נתון שBAC=90. כמו כן מתקיים BAC=BADּּּּ+DAC. לכן, BAD+DAC=90
מכיוון שBAD=90-ABD (סעיף 1). מתקיים DAC=ABD ׁ(אני יודע שאולי זה טיפה מסובך, תנסה בבקשה להציב את זה ותראה שזה מסתדר).
3. שים לב למשפט שמופיע בעמוד 243. שני משולשים דומים זה לזה אם יש להם שתי זוויות שוות. בין BAD לDAC יש שני זוגות של זוויות שוות:
BDA=ADC=90 כי זה גובה
וDAC=ABD לפי סעיף 2.
נרשום את המשולשים הדומים: BAD דומה לACD.
אגב, בכל משולש ישר זווית הגובה ליתר יוצר שני משולשים דומים, דומים זה לזה ודומים למשולש המקורי - לא רק בתרגיל הזה.
4. שים לב למשפט נוסף בעמוד 243. במשולשים דומים, יש יחס קבוע בין כל שתי צלעות מתאימות (זה נקרא יחס קווי). היחס בין השטחים של המשולשים הדומים שווה ליחס הזה, בריבוע. אם היחס בין המשולשים הוא 1:3, היחס בין הצלעות המתאימות הוא 3√: 1.
האופן שבו רשמנו את המשולשים הדומים מאפשר לנו לראות שAC וAB מקיימות ביניהן את היחס הקווי. אם AB שווה ל-X, אז AC שווה ל3X√. לפי משפט פיתגורס, זה אומר שהיתר, BC, שווה ל-2x (עמוד 240).
5. נסתכל על עמוד 242. על פי היחס בין הצלעות, באיזה סוג של משולש ישר זווית מדובר? מדובר למעשה במשולש זהב. במשולש מסוג זה, הזוויות שווה ל-30, 60 ו-90 (הצלע שנמצאת מול ה-30 שווה לחצי מהיתר). זה היחס שמופיע בפתרון שלך.
בהצלחה. אם משהו לא ברור - מוזמן לשאול.
