בוחן הסתברות - שאלה 2

Question

שלום,
לגבי
https://www.ezway.co.il/ezlearning/files/ezeditor_uploads/HOT_Probability.pdf

שאלה מספר 2

שואלים אותי מה ההסתברות שכל אחד יבחר מספר שונה.
אז בהיגיון פשוט זה 10/(10-3) = 0.7
או 70/100 אבל אין סעיף עם תוצאה כזאת. יש סעיף דומה עם תוצאה 72/100

מה מתברר? מתברר שהייתי צריך לנחש מהשאלה שאסור שמישהו יבחר מספר שמישהו כבר בחר.. כלומר כל אחד יכול לבחור מספר שעוד לא בחרו. פרט כזה לא מצויין באף מקום בשאלה..

"עידו, רוני ועדי בוחרים, כל אחד, מספר אחד מבין המספרים 1 עד 10"
לא כתוב בשום מקום שאי אפשר לבחור מספר שכבר בחרו..
אני חשבתי שאפשר.. למשל גם עידו וגם רוני בחרו את המספר 5.
על בסיס ההיגיון הזה חישבתי את זה ככה.

האם השאלה בכוונה מנוסחת בניסוח לקוי שאני צריך לנחש את הפרט הזה לבד? או שמשהו עם ההיגיון שלי לא בסדר?

Answer 1

שלום גיל,

טוב שאתה שואל את השאלה, מכיוון שההבנה של הניסוח הספציפי בתרגיל הזה תאפשר לך להצליח גם בתרגילים אחרים.

מה ה-EZ-זיהוי כאן? בעית הסתברות, אפשר לראות את זה דרך המילה "סיכוי" שמופיעה בשאלה.

מה ה-EZ סיווג? אירועים מושפעים. איך אנחנו יודעים שמדובר באירועים מושפעים? צריכים לקרות שלושה אירועים (עידו בוחר מספר בין 1 ל-10, רוני בוחרת מספר בין 1 ל-10 ועדי בוחרת מספר בין 1 ל-10).

באירועים מושפעים, יש לחשב את ההסתברות של כל אירוע (מה הסיכוי שהראשון יבחר מספר בין 1- ל-10, מה הסיכוי שהשני יבחר מספר בין 1 ל-10, מה הסיכוי שהשלישי יבחר מספר בין 1 ל-10) - ולהכפיל.

כל אחד יכול לבחור מספר שונה מהאחרים. מה זה אומר? זאת אומרת, שאם לראשון שבוחר יש עשרה מספרים לבחור, לשני יש רק תשעה (הוא לא יכול לבחור את המספר שהראשון בחר) ולשלישי יש רק שמונה (כי, הוא לא יכול לבחור את המספרים של השניים הראשונים).

אנחנו מחשבים הסתברות של אירוע מסוים דרך הנוסחה רצוי/מצוי.

לאדם הראשון שבוחר מספר יש עשר אפשרויות (מצוי), ומתוכן עשר אפשרויות רצויות (כל מספר שהוא בוחר יתאים לדרישה של התרגיל). לכן ההסתברות היא 10/10 שזה 1.

לאדם השני שבוחר יש עשר אפשרויות (הוא בוחר בין עשרת המספרים), אבל רק תשע רצויות (הבקשה היא שהוא לא יבחר את המספר של הראשון). לכן ההסתברות היא 9/10.
לאדם השלישי שבוחר יש עשר אפשרויות מצויות (הוא בוחר בין עשרת המספרים), אבל רק שמונה רצויות (הבקשה היא שהוא לא יבחר את המספרים של השניים הראשונים). לכן ההסתברות היא 8/10.

זוכר שבאירועים מושפעים (כמה אירועים צריכים לקרות במקביל) מכפילים את ההסתברויות? אז כך עושים גם כאן. מכפילים 1*(9/10)*(8/10) ומקבלים את התוצאה המבוקשת

בהצלחה!

Comments

זה "אירועים משופעים" כאשר כל בחירה/אירוע משפיעה על הבחירה/אירוע הבאה..
אני דמיינתי תמונה אחרת שאף בחירה לא משפיעה על בחירה אחרת.
לא דמיינתי את המספרים כקלפים ואז אם מישהו לוקח קלף אז אי אפשר לקחת את הקלף(אותו מספר) עוד פעם..

אם היו אומרים לי בשאלה שיש 10 קלפים עם מספרים מ 1 עד 10 ו"בחירה" משמעותה שהמשתתף יקח לעצמו את הקלף אז היה אפשר להבין שכל בחירה משפיעה על הבחירה הבאה.. חשבתי נניח שבוחרים את המספרים במחשב או משהו בסגנון

איך אני יכול להבין שזה "אירועים משופעים" מהשאלה? לא הצלחתי להבין איך מהתשובה הזאת.. אולי אני צריך להניח מראש שהמחברים מתכוונים לאירועים משופעים.

במקרה הזה זה לא משהו רציני אבל אם היה שם סעיף עם התשובה 70/100 אז סביר להניח שהיו יכולים היות על זה הרבה תלונות..


עדיין שחושבים על זה שצריך לענות על השאלות מהר, אולי יש היגיון בלהשתמש בחישוב הפחות מדוייק -  10/(10-3)  
כי הוא לוקח הכי פחות זמן.. אומנם זה לא יתן את התוצאה המדוייקת אבל זה חישוב הרבה יותר מהיר ובגלל שזה שאלון אמריקאי אפשר לוותר על רמת דיוק לטובת יעילות.. במקרה הזה - לעשות חישוב שלא לוקח בחשבון את זה שכל אירוע משפיע על האירוע הבא.

זה רעיון טוב? אני חושב שאפשר לוותר על המדע המדויק הזה. במקרה הזה זמן החישוב הלא מדוייק ביחס לחישוב המדוייק היא  1/3
החישוב הלא מדוייק לוקח 33.3333...% זמן מהזמן של החישוב המדוייק. בחישוב המדוייק עושים 3 חישובים (או אולי יותר? ואז זה פחות מ 33% ) רק בשביל להגיע לתוצאה טיפה יותר מדוייקת.. יש חיסכון גדול של זמן

---

היי גיל,
הרצון לוותר על חישוב מדויק על מנת לחסוך בזמן מובן - והמרכז הארצי מחכה לך בפינה עם מסיחים חפוזים. בשאלה הזו ספציפית לא היה מסיח כזה, אך הוא קיים בשאלות רבות אחרות, כפי שכבר ודאי יצא לך לראות במהלך הקורס. ממש כמו שהמדריך שלך אמר לך, חבל"ז = חבל"צ (חבל על הציון) - קיצורי דרך כאלה עולים לנו בנקודות יקרות.

בנוגע לשאלה "איך אפשר להבין שמדובר באירועים מושפעים" - לא קיימים EZ סיווגים ברורים לאירועים מושפעים / לא מושפעים, ויש להבין זאת תוך כדי קריאת השאלה. במקרה הזה, נאמר ששלושה משתתפים בחרו מספרים מ-1 עד 10, ושאלו מה הסיכוי שיבחרו מספרים שונים. עליך לשאול את עצמך:
כמה אירועים יש לי בשאלה? - 3 אירועים, כל בחירה היא אירוע.
כמה אפשרויות יש לי בכל אירוע? הראשון יכול לבחור איזה מספר שהוא רוצה, כלומר 10 מתוך 10.
האם זה משפיע על האפשרויות לבחירה של השני? כן, לשני אסור לבחור את המספר של הראשון, כלומר הוא נשאר עם 9 אופציות מתוך 10.
כמובן שהאירועים הראשון והשני משפיעים גם על השלישי,ואסור לו לבחור את המספרים של הראשון והשני, והוא יכול לבחור רק 8 מתוך 10 מספרים.
את אותן שאלות אתה יכול ואף צריך לשאול את עצמך גם בשאלות קומבינטוריקה.

בסופו של דבר אתה מגיע לחישוב של: 10/10 * 9/10 * 8/10. איך אתה מזרז אותו? כאן באים לידי ביטוי גם יכולות אלגבריות של צמצום שברים, ידיעת לוח הכפל וכו'. אם אתה מרגיש שנושא זה לוקה בחסר ושהחישובים לוקחים לך זמן רב מדי, ניתן לחזור על נושאי שפשוף נעים (שברים וחזקות ושורשים בעיקר) ועל חישוב מקורב (בתוך תכונות מספרים).

---

סליחה שאני קשה אבל לא הצלחתי להבין איך אפשר להבין שזה אירועים משופעים מהשאלה עצמה.

"כמה אירועים יש לי בשאלה? - 3 אירועים, כל בחירה היא אירוע.
כמה אפשרויות יש לי בכל אירוע? הראשון יכול לבחור איזה מספר שהוא רוצה, כלומר 10 מתוך 10.
האם זה משפיע על האפשרויות לבחירה של השני? כן, לשני אסור לבחור את המספר של הראשון, כלומר הוא נשאר עם 9 אופציות מתוך 10. "

מאיפה אתה יודע שהתשובה היא כן? סליחה שאני קשה..
אני אמור להבין מזה שהשני לא יכול לבחור מתוך 10 אופציות?
איפה קבעו בשאלה שאי אפשר לבחור את אותו המספר יותר מפעם אחת?

---

נראה לי שעכשיו הבנתי..

החישוב
10 / (10-3)

נראה לי מייצג את הסיכוי שכולם בחרו מספר בין 1 ל 7 אבל לא בהכרח שכל אחד בחר מספר שונה
נראה לי שזה מה שהחישוב הזה מייצג... משהו כזה בערך נכון?

והחישוב 10/10 * 9/10 * 8/10 לא יכול להכיל תרחיש ולייצג סיכוי שמספר מסויים נבחר יותר מפעם אחת

עריכה:
רגע זה לא קשור לשאלה עצמה אבל סתם לצורך התעניינות - בעצם בשביל לייצג סיכוי שכל השלושה בחרו מספר בין 1 ל 7 (כלל מצב שאותו מספר יבחר שוב פעם..) צריך לחשב את זה ככה נכון?
3/(7/10)
עריכה: בעצם לא נראה לי.. לא יודע מה כן

עריכה: נראה לי ככה 0.7 * 0.7 * 0.7
או במילים אחרות זה 7/10 בחזקת 3
נראה לי שזה מייצג את הסיכוי שכולם בחרו מספר בין 1 ל 7 . נכון? אני יודע שזה לא קשור לשאלה אבל סתם מתוך התעניינות

---

בנוגע ל"איך לדעת אם זה אירועים מושפעים" - השאלה הנשאלת היא, האם מה שאני עושה משפיע על כמות האפשרויות שיש לי באירוע הבא?
אם אני זורק קוביה, או מטיל מטבע, או בוחר פתק ומחזיר אותו, האם מספר האפשרויות באירוע הבא (זריקה / הטלה / בחירה נוספת) משתנה? לא, גם בהטלה הבאה הסיכוי להוציא פלי הוא 1/2, וגם בזריקה הבאה הסיכוי להוציא מספר מסוים היא 1/6 - אלו אירועים בלתי מושפעים.
אם אני מוציא נעל ספורט מארון הנעליים, או בוחר פתק ולא מחזיר אותו, האם מספר האפשרויות באירוע הבא משתנה? כן, כי באירוע הבא יהיו לי פחות נעליים באופן כללי ופחות נעלי ספורט, ויהיו לי פחות פתקים בכלל ופחות פתקים ירוקים - אלו אירועים מושפעים.

בנוגע למה מייצג 7/10 בחזקת 3, אכן מייצג את הסיכוי שכל אחד ואחד בחר מספר בין 1 ל-7.

---

כן קלטתי את הלוגיקה המטמטית..
לגבי השאלה השנייה תודה על התשובה. זה עזר לי לחדד קצת.
זה גם מייצג סיכוי שכל אחד יבחר מספר בין 2 ל 8, או ביו 3 ל 9 או בין 4 ל 10
זה מייצג גם את התרחישים האלה. וזה עדיין לא סותר את זה שזה ייצג גם את הסיכוי 1 ל 7 נכון?

---

אוקי אני יודע שזה ממש טפשי לעשות את זה אבל בדקתי את זה בקוד http://pastebin.com/umhLJTum
זה נותן לי בממוצע את התוצאה של 7/10 בחזקת 3  (התוצאה 0.343 )
בכל המצבים - 1-7 , 2-8 , 3-9 , 4-10

זה מריץ את התרחיש ש 3 אנשים בוחרים מספר בין 1 ל 10
10000 פעמים (אפשר לשנות במשתנה $iCheckLevel )
וזה נותן כל פעם את התוצאה הזאת פחות או יותר גם כשאני בודק סיכוי ש 3 אנשים יבחרו מספר בין 2 ל 8 , 3 ל 9 ו 4 ל 10

אז 34.3% מייצגים גם את התרחישים האלה. זה נראה טיפשי לבדוק את זה בקוד. זה אמור להיות ברור אבל לא יודע לא הייתי בטוח מקודם.

עריכה: בדיקה נוספת מול הקוד מראה שהמספר הסתברות הזה לא מייצג בהכרח רק את התרחישים שכל האנשים בחרו  2 ל 8, או ביו 3 ל 9 או בין 4 ל 10 .. זה גם מייצג תרחיש שכל המשתמשים בחרו מספר מסויים מתוך סט מסויים של מספרים באורך של 7 *כאשר כל המספרים שונים*.. נניח בדקתי מה הסיכוי שכל המשתמשים יבחרו את אחד המספרים מהסט מספרים הזה 1,2,9,4,8,10,7 - והתוצאה שהקוד נותן היא אותו המספר 34.3% . אולם בהמשך בדקתי מה קורה אם בסט מספרים יש כמה מספרים שחוזרים על עצמם ופה התוצאה התחילה להיות ממש לא תואמת את התחזית של הנוסחה הזאת.. נניח אם הסט מכיל   
1,1,1,4,8,10,7 אז הקוד מתחיל לתת לי תוצאה באיזור ה 12.5% אז נראה לי שהנוסחה הזאת (  7/10 בחזקת 3  ) חוזה את הסיכוי לתרחיש שכל המשתמשים בחרו בין 1 ל 7 *אבל מספרים שונים* כל אחד.