מדוע כדי שיצא מספר שלם המכנה של מעריך החזקה צריך להתחלק במונה שלו ללא שארית?

Question

בשאלה 3 בקובץ "תכונות מספרים- למטורפים"  לאחר פישוט התרגיל אנו מגיעים לביטוי 45 בחזקת X/4.

 בפתרון לשאלה זו  נכתב:

על מנת שיתקבל מספר שלם, על החזקה X/4 (איקס חלקיי ארבע) להיות מספר שלם.

הנה מספר דוגמאות לחזקות שמעריכיהן הם שברים ובכל זאת תוצאתן היא מספר שלם

81 בחזקת 3/4 שווה 27
216 בחזקת 2/3 שווה 36
49 בחזקת 1/2 שווה 7

שאלתי היא- מהו ההבדל המהותי בין הדוגמאות הללו לתרגיל שבשאלה? מהו הכלל שלפיו אנו אמורים להסיק שבמקרה של 45 בחזקת X/4 על מנת לקבל מספר שלם גם המעריך של החזקה צריך להיות שלם?

Answer 1

עודד, זו שאלה מצוינת, אבל אין פה כלל מתמטי.
הנקודה טמונה במקום מאוד 'פסיכומטרי' - זו המילה "בוודאות".
מכיוון ששואלים אותנו מה *בוודאות* יבטיח שהתוצאה היא מספר שלם,
אנחנו מחפשים את התנאים הספציפיים שיבטיחו לנו את זה.
במקרה זה, רק איקסים שמתחלקים ב-4 יתנו בוודאות מספר שלם.

מכיוון שהבסיס בשאלה הוא 45, וזהו מספר שאין לו שורש רביעי שלם,
אנחנו חייבים שאיקס יתחלק בארבע, על מנת שתוצאה תהיה שלמה.
בשאלות אחרות, עם בסיסים אחרים כמו הדוגמאות שציינת, יתכנו תשובות אחרות.

במילים אחרות, זה הרעיון של חשיבה אנליטית -
לנתח את הנתונים ולהבין את האפשרויות המתאימות (מבחינה אלגברית או לוגית).

בהצלחה!